cho \(\Delta ABC\) nhọn,đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC.
a) Chứng minh AM.AB=AN.AC
b) chứng minh \(AH=\dfrac{BC}{cotB+cotC}\)
c) cho \(BC=MN\sqrt{2}\). Chứng minh \(S_{\Delta AMN}=S_{\Delta BMNC}\)
Cho tam giác ABC chọn, đường cao AH, gọi MN lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC
a) Chứng minh: AM . AB = AN . AC
b) Chứng minh: cotC+cotB=BC/AH.
c) Chứng minh: BM=BC.cos3B
a) Áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AM.AB=AH^2\)
\(AN.AC=AH^2\)
suy ra: \(AM.AB=AN.AC\)
b) \(cotC+cotB=\frac{HC}{AH}+\frac{BH}{AH}=\frac{BC}{AH}\)
cho tam giác vuông ABC vuông ở A ; có AB = 8cm ; AC = 15cm ; đường cao AH
a) tính BC ; BH ; AH
b) gọi m,n lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC . tứ giác AMNH là hình gì ? tính độ dài đoạn MN
c) chứng minh AM.AB=AN.AC
Cho ΔABC , đường cao AH với H thuộc BC và AB<AC . Gọi hình chiếu của H lên các đoạn thẳng AB AC , lần lượt là M và N.
a) Chứng minh ΔAHM ~ ΔABH . Từ đó chứng minh AH^2= AM.AB .
b) Chứng minh AM.AB=AN.AC . Từ đó chứng minh ΔAMN~ΔACB .
c) Giả sử ΔABC vuông tại A và AB=6cm và AC=8cm . Tính tỷ số diện tích của tứ giác BMNC và ΔABC
d) Chứng minh 4 đường trung trực của các đoạn thẳng BM,MN,NC,CB đồng quy tại một điểm.
tui còn mỗi câu c và d thôi ai giúp với
c) Vì tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AMHN\) là hình chữ nhật
Ta có: \(\dfrac{S_{BMNC}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}-S_{AMN}}{S_{ABC}}=1-\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\)
Ta có: \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AM.AN}{\dfrac{1}{2}.AB.AC}=\dfrac{AM.AN}{AB.AC}=\dfrac{AM.AB.AN.AC}{\left(AB.AC\right)^2}\)
\(=\dfrac{AH^2.AH^2}{\left(AH.BC\right)^2}=\dfrac{AH^4}{\left(AH.BC\right)^2}=\dfrac{AH^2}{BC^2}\)
Ta có \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}\Rightarrow AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\left(\dfrac{24}{5}\right)^2}{10^2}=\dfrac{144}{625}\Rightarrow\dfrac{S_{BMNC}}{S_{ABC}}=1-\dfrac{144}{625}=\dfrac{481}{625}\)
d) Ta có: \(\angle ANH+\angle AMH=90+90=180\Rightarrow AMHN\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle ANM=\angle AHM=\angle ABC\left(=90-\angle BHM\right)\)
\(\Rightarrow BMNC\) nội tiếp
\(\Rightarrow\) 4 đường trung trực của các đoạn thẳng BM,MN,NC,CB đồng quy
a) Xét ΔAHM vuông tại M và ΔABH vuông tại H có
\(\widehat{HAM}\) chung
Do đó: ΔAHM\(\sim\)ΔABH(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AM}{AH}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AH^2=AM\cdot AB\)(Đpcm)
cho tam giác abc vuông tại a có đường cao ah chia cạnh huyền bc thành hai đoạn bh=4 hc=9 a) tính ah,ab,ac b) gọi m,n lần lượt là hình chiếu của h trên ab và ac chứng minh rằng am.ab=an.ac
a: BC=BH+CH
=4+9=13
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH^2=4\cdot9=36\)
=>AH=6
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)
b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB= 8cm, Ac = 15cm, đường cao AH?
a, tính BC, BH, Ah
b, Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC, AMNH là hình gì? tính đọ dài đoạn MN
c, chứng minh AM.AB=AN.AC
Câu 1. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.
Câu 1. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH với đường cao BM:
\(AH^2=AM.AB\) (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao CN:
\(AH^2=AN.AC\) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB= 28cm, AC= 35cm, góc A= 60 độ. Tính BC
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AM.AB=AN.AC
b) AM.AB+AN.AC= 2 MN2
c) AM.BM+AN.CN= AH2
d) BM/CN = AB3/AC3
Bài 2:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB,ta được:
\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)
\(\widehat{ANH}=90^0\)
\(\widehat{AMH}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=MN
Ta có: \(AM\cdot AB+AN\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2\)
\(=2AH^2=2\cdot MN^2\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh \(S_{AEMF}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\)
Cái bài này thì có lẽ bạn nên chứng minh AM⊥FE là nó ra liền à
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\) và \(AE=HF\)
\(S_{ABC}=S_{ABH}+S_{ACH}=\dfrac{1}{2}HE.AB+\dfrac{1}{2}HF.AC=\dfrac{1}{2}AB.AF+\dfrac{1}{2}AC.AE\)
Gọi K là trung điểm AB \(\Rightarrow MK\) là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MK=\dfrac{1}{2}AC\\MK\perp AB\end{matrix}\right.\)
Gọi D là trung điểm AC \(\Rightarrow MD\) là đtb tam giác ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MD=\dfrac{1}{2}AB\\MD\perp AC\end{matrix}\right.\)
\(S_{AEMF}=S_{ABC}-\left(S_{BME}+S_{CMF}\right)=S_{ABC}-\left(\dfrac{1}{2}MK.BE+\dfrac{1}{2}MD.CF\right)\)
\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}AC.\left(AB-AE\right)+\dfrac{1}{2}AB.\left(AC-AF\right)\right)\)
\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(AB.AC-\left(\dfrac{1}{2}AC.AE+\dfrac{1}{2}AB.AF\right)\right)\)
\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(2S_{ABC}-S_{ABC}\right)=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\) (đpcm)